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Gitter

Aus der Schule kennen wir Funktionen, die für alle reellen Zahlen definiert sind. Der Rechner kann aus Rechenzeit- und Speicherplatzgründen die Lösung eines Problems im interessierenden Rechengebiet - z.B. die Temperaturen in der Erdatmosphäre - nur an wenigen Punkten bestimmen. Wir müssen daher eine Auswahl an Punkten im Rechengebiet vornehmen, nur an diesen ermittelt man die interessierenden Größen. Die Anordnung dieser Punkte nennt man Gitter.

Auf den nächsten Seiten werden wir einfache eindimensionale Probleme betrachten. Wir benötigen dafür auch eindimensionale Gitter. Zuerst wird also ein eindimensionaler Gegenstand, ein Stab bzw. eine Luftsäule, diskretisiert. D.h. ein Gitter wird aufgebaut, dessen Punkte sich auf eine Raumkoordinate verteilen.

Der Stab bzw. die Luftsäule hat eine Länge, diese sei in x-Richtung orientiert.

Bild des Stabes

Ein sehr einfaches Programm zur Berechnung der Verteilung der Gitterpunkte auf diesen Stab wird im folgenden vorgestellt. Die vom Programm ausgegebene Gitterdatei muß mindestens die Ortskoordinaten der Punkte enthalten. Da sehr oft auch der jeweilige Abstand zwischen zwei benachbarten Punkten gebraucht wird, werden diese auch in die Gitterdatei eingeschrieben. Wir nennen diesen Gittertyp FDM-Gitter, "FDM" wie "Finite Differenzen Methode", ein Verfahren um Differentialgleichungen und damit physikalische Probleme zu lösen. Dieser Gittertyp wird hier z.B. im Programm Absorption verwendet.

Stab mit FDM-Gitter

Bei einer oft angewandten numerischen Methode - der Methode der Finiten Volumen (FVM) - , welche die Flüsse einer Größe über Grenzflächen von Teilvolumina bilanziert und somit die Werte dieser Größe errechnet, werden der Flächeninhalt und die Positionen dieser Grenzflächen benötigt. Ein FVM-Gitter ist untern dargestellt. Die Grenzflächen sind grün hervorgehoben. Die Finite Volumen Methode wird hier z.B. zur Lösung der Wärmeleitungsgleichung verwendet.

Stab mit FVM-Gitter

Das Programm liefert eine Datei, die Gitterdatei.

Anwenden des Programms

Dokumentation

Archiv python
Hauptprogramm in python
Steuereinheit in python
Gitterberechnung in python
Ausgabeeinheit in python
Steuerdatei

Die FDM-Gitterdatei für ein Gitter mit 9 Knotenpunkten beinhaltet folgende Werte:

d
9
0 0.0
1 0.125
2 0.25
3 0.375
4 0.5
5 0.625
6 0.75
7 0.875
8 1.0
0 0.125
1 0.125
2 0.125
3 0.125
4 0.125
5 0.125
6 0.125
7 0.125

und das Programm gibt diese Graphik aus:

und speichert sie ab. Sie entspricht der FDM-Graphik oben.

Ein Gitter für FVM-Simulationen beinhaltet mehr, da neben den Gitterpunkten auch die Positionen der Grenzflächen und deren Flächeninhalte gespeichert werden müssen.

v
10
0 0.0
1 0.0625
2 0.1875
3 0.3125
4 0.4375
5 0.5625
6 0.6875
7 0.8125
8 0.9375
9 1.0
0 0.0625
1 0.125
2 0.125
3 0.125
4 0.125
5 0.125
6 0.125
7 0.125
8 0.0625
0 0.0
1 0.125
2 0.25
3 0.375
4 0.5
5 0.625
6 0.75
7 0.875
8 1.0
0 1.0
1 1.0
2 1.0
3 1.0
4 1.0
5 1.0
6 1.0
7 1.0
8 1.0
0 0.125
1 0.125
2 0.125
3 0.125
4 0.125
5 0.125
6 0.125
7 0.125
0 0.125
1 0.125
2 0.125
3 0.125
4 0.125
5 0.125
6 0.125
7 0.125

Die Knoten sind hier wieder durch rote Punkte, die Grenzflächen durch kleine blaue Striche gekennzeichnet.